Hoe ontstond de kansrekening uit twee dobbelweddenschappen?

De kansrekening begon met een klacht. Een Franse edelman vond dat de rekenkunde zichzelf tegensprak. Antoine Gombaud, chevalier de Méré, legde rond 1654 twee weddenschappen aan Blaise Pascal voor: minstens één zes gooien in vier worpen pakt gunstig uit, maar minstens één dubbelzes in 24 worpen met twee dobbelstenen niet. Onmogelijk, vond hij, want 24 staat tot 36 zoals 4 staat tot 6. Wij rekenden beide kansen zelf na. 51,8 procent tegenover 49,1 procent, een verschil van 2,6 procentpunt. Pascal ging erover schrijven met Pierre de Fermat, en uit die brieven kwam het vak voort waar huisvoordeel en RTP vandaag nog op rusten. Bij het narekenen viel ons trouwens iets op: het getal in Pascals brief klopt tot op de eenheid met wat wij eruit kregen.

Welke twee weddenschappen legde de chevalier de Méré aan Pascal voor?

Twee weddenschappen die op elkaar leken en zich totaal anders gedroegen. Nummer één: gooi vier keer met één dobbelsteen en wed dat er minstens één zes bij zit. Nummer twee: gooi 24 keer met twee dobbelstenen en wed dat er minstens één dubbelzes bij zit. Volgens De Méré pakte de eerste gunstig uit voor wie hem aanging, en de tweede niet. Dat vond hij onmogelijk.

Zijn redenering staat woordelijk in de brief die Pascal op 29 juli 1654 aan Fermat stuurde. Eén dobbelsteen heeft zes uitkomsten, twee dobbelstenen hebben er 36. Vier worpen op zes uitkomsten, 24 worpen op 36 uitkomsten. Dezelfde verhouding, dus dezelfde kans. Wat er toen gebeurde, noteert Pascal droog. De Méré zei volgens hem hooghartig “dat de stellingen niet consistent waren en dat de rekenkunde zichzelf tegensprak”. Dat staat in de vertaling van de brieven die wiskundige Richard Pulskamp maakte uit de Œuvres de Fermat van 1894.

In diezelfde brief wijst Pascal aan wie de vragen stelde: “M. le Chevalier de Méré, die degene is die mij deze vragen heeft voorgelegd.” Even verderop volgt een terzijde dat De Méré geen meetkundige is, “wat, zoals u weet, een groot gebrek is”. Van De Méré zelf hebben wij over deze twee weddenschappen geen enkele tekst kunnen vinden. Alles wat we van zijn redenering weten, weten we via Pascal.

Hoe reken je die twee kansen zelf na?

Door het om te draaien. Bereken niet de kans op minstens één treffer, maar de kans op nul treffers, en trek die van 1 af. Dat is de hele truc, en meteen de reden waarom die verhouding van 4 op 6 hier niet opgaat. Wij hebben beide sommen met breuken doorgerekend in plaats van met kommagetallen, zodat er geen afrondingsfout in kan sluipen.

En toen liepen we tegen iets aan waar we niet op hadden gerekend. In die brief van 29 juli noemt Pascal het voordeel bij de eerste weddenschap “als 671 tot 625” — zo staat het in de vertaling die de University of York publiceert. Onze eigen breuk is 671/1296 tegenover 625/1296. Dezelfde teller. Dezelfde noemer. Een som van bijna vier eeuwen oud die getal voor getal uitkomt. Wat Pascal níét geeft is een getal voor de tweede weddenschap; hij schrijft alleen dat er “nadeel” is om die in 24 worpen aan te gaan. Die 49,1 procent staat dus nergens in de brief. Die hebben wij zelf berekend, en dat hoort erbij.

Waarom is een gelijke verhouding geen gelijke kans?

Omdat kansen bij herhaling niet worden opgeteld maar vermenigvuldigd. De Méré rekende met een verhouding: zes uitkomsten horen bij vier worpen, dus 36 uitkomsten bij 24 worpen. Die stap loopt in een rechte lijn. De werkelijkheid niet. Elke extra worp vermenigvuldigt de kans op mislukken met zichzelf, en zo’n curve buigt.

Je ziet het aan de plek waar de lijn de 50 procent kruist. Met één dobbelsteen gebeurt dat tussen de derde en de vierde worp: drie worpen geven 42,1 procent, vier worpen 51,8. Met twee dobbelstenen ligt dat punt bij 25 worpen, want 24 worpen geven 49,1 procent en 25 worpen 50,6. Eén worp. Zoveel zat De Méré ernaast, en die ene worp maakte het verschil tussen een gunstige en een ongunstige weddenschap.

Die regel had hij trouwens niet zelf bedacht. Wiskundehistoricus Oystein Ore beschrijft hem in een artikel in de American Mathematical Monthly als “een oude gokregel die ook Cardano gebruikte”. Die gaat zo: is er in het ene geval één kans op N₀ en in het andere één kans op N₁, dan verhouden de aantallen worpen zich als N₀ tot N₁. Bij benadering werkt dat, maar niet bij de twee weddenschappen van De Méré. Pas in 1718 bewees Abraham de Moivre in The Doctrine of Chances hoe het wél moet. Ore noemt in zijn tekst 1716, terwijl zijn eigen literatuurlijst 1718 geeft; dat laatste is het jaar van de eerste druk.

Heeft De Méré dat verschil ooit aan de speeltafel gezien?

Vrijwel zeker niet, en dit is het deel dat het vaakst verkeerd wordt naverteld. In de populaire versie merkt een gokker aan zijn portemonnee dat de tweede weddenschap verliest. “Zeer onwaarschijnlijk”, noemt Ore dat. Volgens hem stelde De Méré “geen vraag vanuit zijn eigen ervaring”, maar was hij in de war omdat een oude gokregel niet strookte met de berekening. In Pascals brief staat dan ook geen woord over geld, verlies of een speelavond. Er staat een klacht over rekenkunde.

Wij hebben zelf uitgerekend hoeveel je zou moeten spelen om dat verschil te kunnen zien. Neem de gebruikelijke statistische zekerheid, 95 procent betrouwbaarheid en 80 procent kans om een echt verschil te vinden. Om zo aan te tonen dat 49,1 procent werkelijk onder de 50 zit, heb je ongeveer 20.900 volledige rondes nodig. Elke ronde is 24 worpen met twee dobbelstenen. Ruim een half miljoen worpen dus. Bij honderd rondes per avond ben je daar meer dan tweehonderd avonden mee bezig, en dan heb je nog niets verdiend.

Nog scherper wordt het met dit getal. Na duizend rondes zit er op zo’n percentage nog altijd een marge van ongeveer 1,6 procentpunt, terwijl het effect dat je zoekt 0,86 procentpunt is. Je meetfout is dan bijna twee keer zo groot als het verschil zelf. Geen mens aan een tafel in de zeventiende eeuw kon dit voelen. Het moest worden uitgerekend.

Wat vonden wij toen we zelf op kansrekening zochten?

Een zoekwoord dat helemaal van het onderwijs is. Op 4 september 2026 haalden wij het zoekvolume en de zoekresultaten voor het woord kansrekening in Nederland op. Vijfhonderdnegentig zoekopdrachten per maand. En de twaalf maanden daarvoor lopen op het ritme van een schooljaar: 720 in september, oktober, november, maart en juni, met een dal van 320 in juli. Ruim twee keer zoveel in de examenmaanden als in de zomervakantie.

Geen enkel resultaat kwam van een casino of een vergelijkingssite. Dat verbaasde ons. Dit vak is letterlijk aan een speeltafel ontstaan, en de vraag “hoe groot is de kans dat je 3 keer 6 gooit?” stond gewoon in het blok met vervolgvragen van Google. Herkomst en vindplaats zijn dus uit elkaar gegroeid. Wat deze meting níét aantoont: googelen zegt niets over wie er zoekt of waarom, en één meetmoment is geen trend.

Wie schreef het eerste gedrukte boek over kansrekening?

Een Nederlander. Dat is de minst bekende schakel in dit verhaal. Christiaan Huygens hoorde tijdens een bezoek aan Parijs in 1655 over de briefwisseling tussen Pascal en Fermat, al kreeg hij de brieven zelf nooit onder ogen. Terug in de Republiek werkte hij de redenering uit tot een verhandeling, en volgens de biografie van de University of St Andrews is dat “het eerste gedrukte werk” over het onderwerp.

In het Latijn heet dat De ratiociniis in aleae ludo, en het verscheen in 1657 als toegevoegd traktaat in de Exercitationum mathematicarum van Frans van Schooten, gedrukt bij Elzevier in Leiden. De Nederlandse tekst die Huygens zelf schreef, Van Rekeningh in Spelen van Geluck, kwam in 1660 uit in Van Schootens Mathematische Oeffeningen. Die gegevens komen uit het overzicht van de Universiteit Leiden. Bedacht in het Frans, gedrukt in het Latijn, nagelezen in het Nederlands.

Wat heeft de kansrekening van 1654 met een gokkast te maken?

Alles, en tegelijk minder dan mensen hopen. Diezelfde rekenregel die Pascal en Fermat vastlegden, wordt vandaag gebruikt om een spel door te rekenen voordat het op de markt komt. Het huisvoordeel is niets anders dan het verschil tussen wat er gemiddeld uitgaat en wat erin gaat, uitgerekend over alle mogelijke uitkomsten tegelijk. De return to player is die som van de andere kant bekeken. En volatiliteit beschrijft hoe ver losse uitkomsten van dat gemiddelde afdwalen. Dat is de reden dat De Méré het verschil aan de speeltafel niet kon zien.

De Méré dacht met een verhoudingsregel te kunnen voorspellen wat een reeks worpen zou doen, en dat gevoel bedroog hem. Wat de kansrekening sinds 1654 heeft opgeleverd is geen manier om een uitkomst te voorspellen. Het is een manier om te zien dat een uitkomst niet te voorspellen valt. Die 2,6 procentpunt waar hij over struikelde ligt vast in de wiskunde, en is onzichtbaar in de ervaring.

Wat betekent dat voor jou aan de speeltafel?

Geen speelwijze, en ook geen antwoord op de vraag of je geld kunt verdienen met online gokken. Die weddenschap van 51,8 procent was gunstig voor wie hem aanbood tegen gelijke inzet, en ongunstig voor wie hem aannam. Dat draait dus om zodra iemand anders de voorwaarden bepaalt — en bij een modern kansspel bepaalt het casino ze altijd. Dan wijst dezelfde som van Pascal en Fermat één kant op. Geen mening; gewoon de uitkomst van de berekening hierboven.

Wat ons na al dat narekenen het meest bijblijft is hoe klein de aanleiding was. Eén worp verschil. Tweeënhalve procentpunt. Een edelman die vond dat de rekenkunde onzin sprak. Daar is een compleet vakgebied uit voortgekomen.

Bronnen:

• Probability and Finance (vertaling R.J. Pulskamp, Xavier University) – Correspondence on the problem of points, Blaise Pascal en Pierre Fermat, vertaald uit Œuvres de Fermat deel 2 (1894)
• University of York, afdeling wiskunde – Fermat and Pascal on probability, vertaling Vera Sanford uit A Source Book in Mathematics
• Oystein Ore, American Mathematical Monthly – Pascal and the invention of probability theory, 1960
• MacTutor, University of St Andrews – Biografie van Christiaan Huygens
• Universiteit Leiden – Van Rekeningh in Spelen van Geluck / De Ratiociniis in Aleæ Ludo: facts and figures