Waarom was dit loterijlot van twee dollar soms meer waard dan twee dollar?

Wat een loterijlot gemiddeld oplevert — de verwachtingswaarde — ligt altijd onder de inleg, want anders verdient de loterij er niets aan. Bij één Amerikaans spel was dat een paar keer per jaar niet zo. Cash WinFall van de loterij van Massachusetts had een jackpot met een plafond van twee miljoen dollar. Werd dat plafond geraakt zonder winnaar, dan zakte het hele bedrag door naar de lagere prijzen. Wij hebben die rolldown zelf nagerekend uit het rapport dat inspecteur-generaal Gregory W. Sullivan op 27 juli 2012 aan de staatspenningmeester van Massachusetts stuurde. Bij de trekking van 8 februari 2010 was een lot van twee dollar contant 2,14 dollar waard. In datzelfde rapport vonden we een percentage dat niet klopt: de inspecteur-generaal noemt een contante winstmarge van 12,8 procent, terwijl zijn eigen tabel uitkomt op 6,4 procent.

Wat was Cash WinFall en waarom zakte de jackpot naar beneden?

Cash WinFall was een loterijspel van de staat Massachusetts waarbij je voor twee dollar zes getallen koos uit 1 tot en met 46. Er was trekking op maandag- en donderdagavond. Het spel werd in september 2004 in eigen huis bedacht, als opvolger van Mass Millions. Dat spel had spelers verloren omdat er in 2003 geen enkele keer een jackpotwinnaar viel. Van elke ingelegde dollar ging zestig cent terug naar de spelers en veertig cent naar de loterij en de gemeenten.

Een eeuwig doorrollende jackpot losten de ontwerpers op met een plafond. Kwam de pot op twee miljoen dollar en had niemand alle zes getallen goed, dan werd dat hele bedrag verdeeld over de drie prijsklassen eronder — een rolldown, in hun eigen woorden. Volgens het rapport van de inspecteur-generaal gebeurde dat in de hele looptijd 44 keer. De jackpot zelf viel maar tien keer in 769 trekkingen.

Hoe dat werd verdeeld, lag al sinds 2004 vast: 26 procent van de pot naar wie vijf van de zes goed had, 47 procent naar vier van de zes, 27 procent naar drie van de zes. Wie twee getallen goed had kreeg een gratis lot van twee dollar. Dat is de hele constructie. Er zat geen fout in.

Hoe kwam de verwachtingswaarde boven de inleg uit?

Doordat de rolldown geld uitdeelde dat in eerdere trekkingen was ingelegd. Die jackpot groeide over weken aan, en op de avond van de rolldown werd die spaarpot verdeeld onder de winnaars van díé ene trekking. Zoals de inspecteur-generaal het samenvat: bij elke rolldown stond er voor elke ingelegde dollar minstens 1,15 dollar in de prijzenpot.

Als voorbeeld staat de trekking van 8 februari 2010 in het rapport, met alle getallen erbij. Van de pot ging 633.383 dollar naar de 35 loten met vijf goede getallen, die daardoor 22.096 dollar per stuk opleverden in plaats van de standaard 4.000 dollar. De 1.761 loten met vier goede getallen kregen 807,52 dollar in plaats van 150 dollar. De 29.832 loten met drie goede getallen kregen 26,85 dollar in plaats van vijf dollar. In totaal keerde die avond 2.970.119 dollar uit aan lagere prijzen.

Wij hebben eerst de kansen zelf gereconstrueerd. Er zijn 9.366.819 manieren om zes getallen uit 46 te kiezen. Daaruit volgt: vijf van de zes goed is 1 op 39.028,41, vier van de zes is 1 op 800,58, drie van de zes is 1 op 47,40 en twee van de zes is 1 op 6,83. Dat zijn precies de kansen die de loterij destijds publiceerde, tot op twee decimalen. Onderling kloppen de cijfers in het rapport dus.

Wat was een lot van twee dollar werkelijk waard?

Vermenigvuldig die kansen met de prijzen van 8 februari 2010 en je krijgt de verwachte waarde per lot: 0,57 dollar uit de vijf-van-zes, 1,01 dollar uit de vier-van-zes en 0,57 dollar uit de drie-van-zes. Samen 2,14 dollar contant, op een lot van twee dollar. Het gratis lot bij twee goede getallen komt daar nog bij, goed voor 0,29 dollar. Het lot was meer waard dan zijn prijs.

Aan die zestig cent per dollar veranderde niets. Wat veranderde, was wáár dat geld stond. Bij een gewone trekking lag het grootste deel opgesloten in een jackpot die je met een lot van twee dollar praktisch nooit raakt. Bij een rolldown werd datzelfde geld verplaatst naar prijzen die je met honderdduizenden loten wél binnenhaalt. Wie zich afvraagt hoe die rekensom bij moderne kansspelen ligt, vindt de spiegelbeeldige som in onze uitleg over het huisvoordeel.

Klopt het percentage dat de IG zelf noemt?

Nee. Het rapport bevat een rekentabel voor iemand die 200.000 loten koopt voor 400.000 dollar. Verwachte opbrengst volgens die tabel: 110.480 dollar uit vijf-van-zes, 201.880 dollar uit vier-van-zes en 113.280 dollar uit drie-van-zes, samen 425.640 dollar. Dat is 25.640 dollar meer dan de inleg. De IG schrijft daarover: “a bettor whose results exactly matched the odds would show a cash profit of 12.8 percent on this drawing”.

Wij komen op 6,4 procent. De 25.640 dollar is gedeeld door het áántal loten, 200.000, in plaats van door het ingelegde bedrag van 400.000 dollar. Dat de deling fout ging en niet de tabel, blijkt uit het rapport zelf: twee alinea’s verder rekent dezelfde auteur een tweede scenario door. Daar deelt hij wél door het ingelegde bedrag, met “almost 25 percent” als uitkomst. Dat percentage klopt weer wel. Wat ons verbaast is niet dat er een rekenfout in staat, maar dat hij veertien jaar lang is overgenomen.

Onze eigen uitkomst van 2,14 dollar per lot ligt iets hoger dan de tabel, omdat de IG het verwachte aantal winnende loten afrondde: 5,12 loten met vijf goede getallen werden in de tabel 5. Op 200.000 loten scheelt dat bijna 2.700 dollar.

Waarom werkte dit alleen als je honderdduizenden loten tegelijk kocht?

Omdat zo’n gemiddelde pas iets betekent bij grote aantallen. Met één lot van twee dollar heb je 98 procent kans dat je niets contant wint, hoe gunstig de som ook staat. Vijf goede getallen: één kans op 39.028. Wie 300.000 loten kocht mocht er acht verwachten, en dan begint een gemiddelde te doen wat een gemiddelde hoort te doen. Wie vandaag iets zoekt wat gratis lijkt maar dat niet is, komt eerder uit bij een casino bonus zonder storting. Dat is geen speelwijze, en het was er toen al geen. Het vroeg een bedrag dat vrijwel niemand op tafel legt, in een spel dat niet meer bestaat. Precies dit is wat de vier syndicaten in het rapport uitrekenden, onafhankelijk van elkaar.

James Harvey zat in januari 2005 in zijn laatste semester aan MIT en zocht een onderwerp voor een zelfstudieproject. Hij vergeleek loterijspellen en stuitte op de rolldown. Binnen een paar dagen had hij door dat er winst in zat. Voor de trekking van 7 februari 2005 legden ongeveer vijftig studenten uit zijn studentenhuis Random Hall elk twintig dollar in. Ze kochten 500 loten. Eén daarvan had vier goede getallen en leverde 2.364 dollar op; met wat drie-van-zessen erbij werd duizend dollar ongeveer drieduizend dollar. Het bedrijf dat Harvey en Yuran Lu in 2010 oprichtten heette Random Strategies Investments, naar dat studentenhuis.

Hoe kocht je in de praktijk zevenhonderdduizend loten?

Het werk daarna was bepaald niet elegant. Computergegenereerde invulformulieren waren volgens de loterijregels verboden, dus vulde de groep de bolletjes met de hand in. Voor de trekking van 16 augustus 2010 waren dat ongeveer twee miljoen bolletjes op 400.000 nieuwe formulieren. Daar zat volgens Harvey een jaar voorbereiding in. Winkeliers stonden uren achter de terminal. Bij vochtig weer liepen de machines vast. Verliezende loten gingen in opslagdozen voor de belastingdienst, die de groep bijna elk jaar controleerde.

En het kon misgaan. Op 10 juli 2008 had iemand alle zes de getallen goed op een avond dat de jackpot op twee miljoen stond. Daarmee ging de rolldown niet door en bleven de lagere prijzen op hun standaardbedrag staan. Drie syndicaten verloren die avond volgens het rapport elk honderdduizenden dollars. In de hele geschiedenis van het spel raakte de jackpot 45 keer het plafond; die ene keer was de enige waarop hij ook werd gewonnen. Dat de rekensom gunstig staat, betekent niet dat de uitkomst dat is. Zie ook wat wij schreven over een gokkast verslaan: daar staat de som juist principieel de andere kant op.

Wist de loterij ervan?

Ja, en dat staat in het rapport zelf. De IT-afdeling zag al in mei 2005 dat bepaalde winkels in rolldown-weken buitensporig veel loten verkochten. In juli 2005 troffen controleurs bij vier winkels verkopers aan die computergegenereerde formulieren inscanden, in strijd met de eigen regels; geen van de vier verloor zijn vergunning. In april 2010 rapporteerde een controleur over twee winkels die vanaf vijf uur ‘s ochtends tot half een ‘s nachts loten invoerden voor het Michigan-syndicaat. Hij noteerde dat beide eigenaren zelf lid van dat syndicaat waren. Per e-mail kwam er één reactie: een grap.

Droog is de formulering van de inspecteur-generaal. Er staat: “the record is clear that the Lottery had been aware of but had not disapproved of these vendors’ actions for many years as the money had come rolling in”. Het spel bracht ongeveer 300 miljoen dollar aan lotenverkoop op, waarvan bijna 120 miljoen naar de loterij en de gemeenten ging. Samen legden de vier ondervraagde syndicaten meer dan 40 miljoen dollar in.

Wat stelde de inspecteur-generaal níét vast?

Even belangrijk is wat hij níét vaststelde. Geen samenspanning tussen loterijmedewerkers en spelers, geen misbruik van interne informatie, en geen enkele speler die door het volumespel een slechtere kans kreeg. Het harde oordeel dat winkeliers regels braken “with the assent of some Lottery officials” staat niet in zijn rapport, maar in de reactie van de staatspenningmeester erop, van 30 juli 2012.

Eén keer ging het echt mis voor de gewone speler. Op 16 augustus 2010 kocht de MIT-groep in drieënhalve dag ongeveer 700.000 loten. Zo duwde zij de jackpot zelf over de twee miljoen, terwijl de website van de loterij nog 1.675.000 dollar aankondigde. Van elke acht verkochte loten had de groep er zeven. Er rolde 2.128.979 dollar naar beneden. Achttien van de 21 prijzen van 30.282 dollar gingen naar de groep, plus 868 van de 1.002 prijzen in de klasse eronder. Op een inleg van 1,4 miljoen dollar hield zij zo’n 700.000 dollar contante winst over. De loterij was net zo verrast als de andere syndicaten, want de afdeling die de limieten van de winkeliers verhoogde gaf dat niet door aan de afdeling die de jackpotschatting op de website zette.

Wanneer zou de verwachte waarde vanzelf onder de inleg zakken?

Op het moment dat er te veel loten verkocht werden. Zo’n rolldown-pot is namelijk een vast bedrag, en hoe meer loten er in die trekking meedoen, hoe meer winnaars dat bedrag moeten delen. Wij hebben dat omslagpunt zelf uitgerekend voor de trekking van 8 februari 2010.

Die schatting van 1,42 miljoen loten is van ons. Het rapport noemt hem niet, maar geeft wel het aantal winnaars per prijsklasse. Deel 1.761 winnaars met vier goede getallen door hun kans van 1 op 800,58, en je komt op ongeveer 1,41 miljoen verkochte loten. Via de klasse met drie goede getallen kom je op 1,41 miljoen, en via die met twee goede getallen op 1,43 miljoen. Drie onafhankelijke routes, dezelfde orde van grootte. Langs die weg komt de verwachte waarde uit op 2,10 dollar per lot, tegen 2,14 dollar via de prijzen en de kansen. Dat verschil van twee procent is precies wat je bij één trekking aan toeval verwacht.

Hoe liep het spel af?

Wat het omslagpunt laat zien, is hoe krap de marge was geworden. Er zat ongeveer zes procent tussen het aantal loten dat verkocht werd en het aantal waarbij het voordeel verdampte. Dat is geen theorie. Ying Zhang, de derde syndicaatsleider in het rapport, stopte in 2007 met zijn club precies om deze reden. Hij zei tegen de onderzoekers dat de groepen vanzelf zouden zijn verdwenen als het spel had doorgelopen. De IG schrijft hetzelfde in zijn conclusie, in één bijzin: voorbij een bepaald hoog aantal loten zou het niet meer opgaan, maar die grens werd nooit gehaald.

Het einde kwam anders. Op 31 juli 2011 stond het verhaal op de voorpagina van The Boston Globe. In augustus 2011 stopte de loterij met ontheffingen op de daglimiet van 5.000 dollar per verkooppunt. In oktober kwam er een limiet van 2.500 dollar per trekking per terminal, waarin ook ingeleverde gratis loten meetelden. Daarna raakte de jackpot vier trekkingen op rij het niveau waarop de syndicaten vroeger instapten, zonder dat er iets gebeurde. Begin 2012 werd Cash WinFall gestopt.

Kan dit bij Nederlandse loterijen?

Deels wel, en dat verraste ons. Wij hebben het deelnemersreglement gelezen dat Lotto B.V. publiceert voor Lotto, Eurojackpot en Lucky Day. Daar staat in artikel 25 lid 10 dat Lotto B.V. kan bepalen dat de jackpot in een bepaalde trekking zeker wordt uitgekeerd. Heeft niemand zes getallen goed, dan gaat het bedrag naar de tweede prijsklasse. Is daar ook geen winnaar, dan schuift het door naar de eerstvolgende klasse waar wél winnaars zijn. Dat is een doorschuifregeling. Bij Eurojackpot staat in artikel 26 dat de eerste en tweede prijsklasse elk niet boven 120 miljoen euro uitkomen. Wat daarboven zou worden toegevoegd, gaat naar de klasse eronder.

Het verschil zit in de trekker, niet in het bestaan van de regeling. Bij Cash WinFall was de grens een bedrag: twee miljoen dollar, vooraf bekend, en zichtbaar op de website van de loterij. Iedereen met genoeg geld kon de pot er zelf overheen duwen, en dat is in augustus 2010 ook precies gebeurd. De Nederlandse gegarandeerde jackpot werkt anders. Hij hangt aan het Jackpotspel, waarbij een notaris vóór de trekking in het geheim één symbool aanwijst uit maximaal twaalf gekleurde ballen. Valt dat symbool, dan is de jackpot gegarandeerd gevallen. Met loten kopen verander je daar niets aan.

Daar komen twee dingen bij die we hebben nagekeken. Het reglement staat online per speler hooguit 100 euro inleg per dag toe, voor Lotto, Lotto XL, Eurojackpot en Lucky Day samen. Die grens staat óók als voorschrift 13 in de vergunning die de Kansspelautoriteit op 23 november 2021 aan Lotto B.V. verleende. Voorschrift 21 uit diezelfde vergunning eist dat het prijzenschema per trekking bekend wordt gemaakt vóórdat de verkoop begint. In Massachusetts ontbrak die aankondiging bij de trekking van 16 augustus 2010; in Nederland is zij een vergunningsvoorschrift.

Voor de Staatsloterij is de Kansspelautoriteit nog explicieter. In het wijzigingsbesluit van 9 december 2021 staat als voorschrift 16 dat alle prijzen die vooraf in het vooruitzicht worden gesteld ook in díé trekking moeten worden toegekend. Daaraan mag een aanbieder “geen voorwaarden of drempelwaarden” verbinden. Een drempelwaarde is nu juist wat Cash WinFall had.

Eén ding hebben we bewust niet gedaan: een verwachte waarde uitrekenen voor een lopend Nederlands spel. Bij Eurojackpot zijn er 139.838.160 combinaties tegen 9.366.819 bij Cash WinFall, en hoeveel loten er per trekking over heel Europa worden verkocht is niet openbaar. Zonder dat getal is zo’n som niet te maken, en met dit onderwerp is een halve som erger dan geen som.

Wat blijft er over van dit verhaal?

Dat een gat in een spelontwerp geen boze opzet hoeft te zijn, en dat een toezichthouder er toch een probleem aan overhoudt. Cash WinFall werkte zoals bedacht: de rolldown moest spelers vasthouden als de jackpot niet viel, en dat lukte. Dat een deel van die spelers wiskundigen bleken die met de hand twee miljoen bolletjes inkleurden, volgde uit het ontwerp en niet uit fraude. Wat er misging, ging mis in het toezicht, en dat veranderde pas toen een krant belde.

Wie deze mechaniek van de andere kant wil zien, kijkt naar een progressieve jackpot. Die pot groeit op dezelfde manier aan. Alleen zit er geen plafond op dat het geld op een aankondigbaar moment naar beneden duwt. Dat plafond was bij Cash WinFall geen zwakte in de wiskunde. Het was de aankondiging erbij.

Bronnen:

• Office of the Inspector General, Commonwealth of Massachusetts – Cash WinFall game and issues involving high-volume betting by syndicates or betting clubs, brief van IG Gregory W. Sullivan aan staatspenningmeester Steven Grossman, 27 juli 2012
• Office of the State Treasurer, Massachusetts – Comment on Report by Office of the Inspector General: Massachusetts State Lottery Cash WinFall Game, 30 juli 2012
• Nederlandse Loterij / Lotto B.V. – Deelnemersreglement Lotto, Eurojackpot en Lucky Day
• Ksa – Vergunning aan Lotto B.V. voor het organiseren van een lotto, 23 november 2021, Staatscourant 2021, 49858
• Ksa – Besluit tot het wijzigen van voorschriften in de vergunning tot het organiseren van de staatsloterij, 9 december 2021, Staatscourant 2021, 49856